Question

已知函数f（x）=

x2+2x+3(x≤0) x2eax(x＞0)

（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据分段函数，确定每一段上的单调递增区间，即可得出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，等价于函数f（x）的值取遍每一个正数．注意到x≤0时，f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．

解答： 解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）=x²+2x+3，其单调递增区间为[-1，0]；
x＞0时，f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=-x²e^-x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，0]和（0，2）；
（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，等价于函数f（x）的值取遍每一个正数．
注意到x≤0时，f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，
∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．
x＞0时，f′（x）=xe^ax（ax+2）
①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；
②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜-

2

a

，令f′（x）＜0，可得x＞-

2

a

，
∴函数在（0，-

2

a

）上单调递增，在（-

2

a

，+∞）上递减，
∴f（x）_max=f（-

2

a

）=

4

a2e2

，
∴（x）的值域为（0，

4

a2e2

]，
∴（0，

4

a2e2

]?（0，2），
∴

4

a2e2

≥2，
∴-

2

e

≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[-

2

e

，+∞）．

点评：本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力．对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，等价于函数f（x）的值取遍每一个正数是关键．