Question

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[2a，2b]，则称f（x）为“快乐函数”…是否存在实数m，当a+b≤4时，使函数f（x）=x²-4x+m，x∈[0，+∞﹚为“快乐函数”．若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：首先要理解快乐函数的定义，其次要注意二次函数的对称轴及给出的a、b的条件，结合条件进行讨论函数的最值，从而解m．

解答： 解：∵x∈[a，b]且a+b≤4，函数f（x）=x²-4x+m的对称轴为x=2，
∴a≤2，b与2的大小关系不确定，函数f（x）在[a，b]上的最大值为f﹙a﹚=a²-4a+m；
又∵值域为[2a，2b]；
①若b≤2，则f﹙a﹚=a²-4a+m=2b；f﹙b﹚=b²-4b+m=2a；
消去m得a²-b²-2a+2b=0，
∴﹙a-b﹚﹙a+b-2﹚=0
∵a＞b，a≠b，
∴a+b=2，b＞1
∴a=2-b代入b²-4b+m=2a，
﹙b-1﹚²=5-m，
∴0＜5-m≤1，
即4≤m＜5，
②若b＞2，则f﹙a﹚=a²-4a+m=2b；f﹙2﹚=4-8+m=2a，
即（a-2）²=2（b-a）＞0，
∴a＜2，
∴m=2a+4＜8，
综上所述，m＜8．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及二次函数的最值与值域问题的处理方法，属于中档题．