Question

已知f（x）是R上的减函数，A（3，-1），B（0，1）是其图象上两个点，则不等式|f（1+lnx）|＜1的解集是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由不等式|f（1+lnx）|＜1，利用绝对值的意义可得-1＜f（1+lnx）＜1，（*）由于A（3，-1），B（0，1）是其图象上两个点，可得f（3）=-1，f（0）=1，因此（*）可化为f（3）＜f（1+lnx）＜f（0），再利用f（x）是R上的减函数，可得3＞1+lnx＞0，解出即可．

解答： 解：∵不等式|f（1+lnx）|＜1，∴-1＜f（1+lnx）＜1，（*）
∵A（3，-1），B（0，1）是其图象上两个点，∴f（3）=-1，f（0）=1，
∴（*）可化为f（3）＜f（1+lnx）＜f（0），
∵f（x）是R上的减函数，∴3＞1+lnx＞0，化为2＞lnx＞-1，解得

1

e

＜x＜e2．
∴不等式|f（1+lnx）|＜1的解集是(

1

e

，e2)．
故答案为(

1

e

，e2)．

点评：本题考查了绝对值不等式、函数的单调性及对数函数的单调性，属于中档题．