Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+2．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[3，4]上单调且有最大值为2，求实数a值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与连接两点M（0，1），N（2，3）的线段（包括M，N两点）有两个相异的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由于二次函数f（x）的对称轴为x=-

a

2

，分当-

a

2

≤3、当-

a

2

≥4两种情况，利用函数的单调性，根据f（x）在区间[3，4]上的最大值，求得a的值．
（Ⅱ）用两点式求得MN的方程为 l_MN：y=x+1，原命题等价于x²+ax+2=x+1在[0，2]上有两个不等的实根．即f（x）=x²+（a-1）x+1在[0，2]有两个零点，利用二次函数的性质求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由于二次函数f（x）=x²+ax+2的对称轴为x=-

a

2

，
当-

a

2

≤3，即：a≥-6时，f（x）在区间[3，4]上单调递增，
函数的最大值为f（4）=2，得a=-4．
当-

a

2

≥4，即：a≤-8时，f（x）在区间[3，4]上单调递减，
函数的最大值为f（3）=2，得a=-3（舍去）．
综上，a=-4．
（Ⅱ）用两点式求得MN的方程为

y-1

3-1

=

x-0

2-0

，
即l_MN：y=x+1，
由题意：原命题等价于x²+ax+2=x+1在[0，2]上有两个不等的实根．
设f（x）=x²+（a-1）x+1，即函数y=f（x）在[0，2]有两个零点．
于是有：

f(2)≥0 0＜- a-1 2 ＜2 (a-1)2-4＞0

，
求得：-

3

2

≤a＜-1，
由此求得a的范围为[-

3

2

，-1）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点的定义和求法，属于中档题．