Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为“美好函数”，给出下列结论：
（1）若函数f（x）为美好函数，则f（0）=0；
（2）函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）不是美好函数；
（3）函数h（x）=x^a（a∈（0，1），x∈[0，1]是美好函数；
（4）若函数f（x）为美好函数，且?x₀∈[0，1]，使得f（f（x₀））=x₀，则f（x₀）=x₀．
以上说法中正确的是

 

（写出所有正确的结论的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义

分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，从而得到f（0）=0．
（2）根据美好函数的定义能够证明函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）根据美好函数的定义能够证明函数h（x）=x^a（a∈（0，1），x∈[0，1]是否同时适合①②③即可．
（4）利用反证法证明：若f（x₀）＞x₀，则由题设知f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，由此入手能证明f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=0，则有f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，即f（0）≥0，故f（0）=0；∴（1）正确．
（2）g（x）是美好函数．证明如下：
①对任意的x∈[0，1]，总有g（x）≥0；
②g（1）=2-1=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则：f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
即：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
故g（x）为美好函数．∴（2）错误．
（3）①对任意的x∈[0，1]，总有h（x）=x^a≥0；
②h（1）=1；
③当x₁=

1

2

，x₂=

1

2

时，满足x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
则f（x₁+x₂）=f（1）=1，
f（x₁）+f（x₂）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2f（

1

2

）=2×(

1

2

)

1

2

=2

1 2

=2×

2

2

=

2

＞1，
即：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）不成立，
故h（x）不满足条件③，∴h（x）=x^a不是美好函数．∴（3）错误．
（4）若f（x）为美好函数，由原条件①③得到：f（x）为增函数，
假设f（x₀）≠x₀，不妨设f（x₀）＞x₀，
则：f（f（x₀））＞f（x₀）＞x₀，矛盾．
当f（x₀）＞x₀时，同样得出矛盾．
故：对题设的x₀，有f（x₀）=x₀成立，∴（4）正确．

点评：本题主要考查与函数有关的新定义题，利用条件分别判断是解决本题的关键，要求正确理解美好函数的定义，考查学生的分析问题的能力．