Question

17．已知tanα，tanβ是方程x²+4x-3=0的两根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求证：sin2α+cos2β=0．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理求得tanα+tanβ和tanαtanβ的值，可得tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$的值．
（2）由条件求得tanα和tanβ的值，利用同角三角的基本关系，化简要求的式子，可得结果．

解答 解：（1）∵tanα，tanβ是方程x²+4x-3=0的两根，
∴tanα+tanβ=-4，tanα•tanβ=-3，∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=-1．
（2）证明：由（1）可得tanα=-2+$\sqrt{7}$，tanβ=-2-$\sqrt{7}$；或tanα=-2-$\sqrt{7}$，tanβ=-2+$\sqrt{7}$．
若tanα=-2+$\sqrt{7}$，tanβ=-2-$\sqrt{7}$，
则sin2α+cos2β=$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{{cos}^{2}β{-sin}^{2}β}{{cos}^{2}β{+sin}^{2}β}$=$\frac{2tanα}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{1{-tan}^{2}β}{1{+tan}^{2}β}$
=$\frac{-4+2\sqrt{7}}{11-4\sqrt{7}}$+$\frac{1-（11+4\sqrt{7}）}{1+（11+4\sqrt{7}）}$=$\frac{（-4+2\sqrt{7}）•（11+4\sqrt{7}）}{9}$+$\frac{（-10-4\sqrt{7}）•（12-4\sqrt{7}）}{32}$
=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$-$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$=0．
同理可证，当tanα=-2+$\sqrt{7}$，tanβ=-2-$\sqrt{7}$时，也有sin2α+cos2β=0，
故sin2α+cos2β=0成立．

点评 本题主要考查韦达定理，同角三角的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题．