Question

设f（x）=2^x+

a

2x

-1（a为常数）．
（1）当a＜0，试判断f（x）在R上的单调性；
（2）若a=0，且y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求g（x）的解析式；
（3）试确定关于x的方程f（x）=0的实数集上有解的条件．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由复合函数的单调性判断f（x）是R上是增函数；
（2）根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求出g（x）的解析式；
（3）方程f（x）=0在实数集上有解，即函数f（x）有零点，讨论a的值，求出f（x）=0在实数集上有解的条件．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+

a

2x

-1（a为常数），
当a＜0时，y=2^x在R上是增函数，
∴y=

1

2x

在R上是减函数，
∴y=

a

2x

在R上是增函数，
∴f（x）=2^x+

a

2x

在R上是增函数；
（2）当a=0时，f（x）=2^x-1，
∵y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴g（x）=2^2-x-1；
（3）∵方程f（x）=0在实数集上有解，
且f（x）=2^x+

a

2x

-1，
∴①当a＜0时，f（x）在R上是增函数，且f（0）=1+a-1=a＜0，满足题意；
②当a=0时，f（x）=2^x-1，且f（0）=1-1=0，满足题意；
③当a＞0时，f（x）=2^x+

a

2x

-1≥2

a

-1，令2

a

-1≤0，解得a≤

1

4

；
综上，a≤

1

4

；
∴方程f（x）=0在实数集上有解的条件是{a|a≤

1

4

}．

点评：本题考查了函数的单调性与对称性的应用问题，也考查了函数的零点与对应方程实数解的问题，考查了分类讨论思想，是中档题．