Question

已知函数f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a≠0时，直线l：y=kx-1是曲线y=f（x）的切线，求k关于a的函数关系式．
（2）求函数=f（x）的极值；
（3）当a=1．时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用直线l：y=kx-1是曲线y=f（x）的切线，可求k关于a的函数关系式．
（2）分类讨论，确定导数为0处的左右附近导数的符号，即可求函数=f（x）的极值；
（3）直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程kx-1=x-1+

1

ex

在R上没有实数解，即关于x的方程：(k-1)x=

1

ex

（*）在R上没有实数解．

解答： 解：（1）由f(x)=x-1+

a

ex

，得f′(x)=1-

a

ex

，
设切点为（m，n），则

1- a em =k n=km-1 n=m-1+ a em

，
解得k=1-ae．    …（4分）
（2）f′(x)=1-

a

ex

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，所以函数f（x）无极值．
②当a＞0时，令f′（x）=0，得e^x=a，x=lna．
x∈（-∞，lna），f'（x）＜0；x∈（lna，+∞），f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取得极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0，f（x）在x=lna处取得极小值lna，无极大值．       …（8分）
（3）当a=1时，f(x)=x-1+

1

ex

．
直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程kx-1=x-1+

1

ex

在R上没有实数解，即关于x的方程：(k-1)x=

1

ex

（*）在R上没有实数解．
①当k=1时，方程（*）可化为

1

ex

=0，在R上没有实数解．…（10分）
②当k≠1时，方程（*）化为

1

k-1

=xex．
令g（x）=xe^x，则有g'（x）=（1+x）e^x．
令g'（x）=0，得x=-1，
当x=-1时，g(x)min=-

1

e

，同时当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，
从而g（x）的取值范围为[-

1

e

，+∞)．
所以当

1

k-1

∈(-∞，-

1

e

)时，方程（*）无实数解，
解得k的取值范围是（1-e，1）．                           …（12分）
综上，解得k的取值范围是（1-e，1]…（14分）

点评：本题是难题，考查函数导数在解决切线方程，函数的极值与最值的应用，注意转化思想的应用，是难度较大的题目，常考题型．