Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足b（b-

2

c）=a²-c²．且

AB

•

BC

≥0．
（1）求A的值；
（2）若a=

2

，求b-

2

c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用已知条件通过正弦定理以及余弦定理，结合三角形内角即可求A的值；
（2）通过向量的数量积结合A的值，判断C的范围，通过a=

2

，利用正弦定理化简b-

2

c为2cos（C+

π

4

），然后求解它的取值范围．

解答： 解：（1）由b（b-

2

c）=a²-c²．可得，b²+c²-

2

bc=a²，…（2分）
于是cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

…（4分）
又A∈（0，π），所以A=

π

4

…（6分）
（2）∵

AB

•

BC

≥0，∴B为钝角或直角，于是A+C≤

π

2

，又A=

π

4

，
∴0＜C≤

π

4

…（8分），
∵a=

2

，∴2R=

a

sinA

=

2

2 2

=2．
由正弦定理可知，b-

2

c=2RsinB-2

2

RsinC=2sin（

3π

4

-C）-2

2

sinC=2cos（C+

π

4

）…（10分）
又0＜C≤

π

4

，
∴

π

4

＜C+

π

4

≤

π

2

．
∴2cos（C+

π

4

）∈[0，

2

)…（12分）

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查基本知识的应用．