Question

14．设数列{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊆{-8，-3，-2，0，1，4，9，16，27}．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{4}^{n}}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，且数列{c_n}的前n项和为T_n，并求使得T_n＞$\frac{1}{{a}_{m}}$对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据{a_n}为递增的等比数列且a₃²=a₁a₅，得到a₁=1，a₃=4，a₅=16，进而求得a_n，b_n的通项公式；
（2）利用裂项相消法求数列的前n项和，再用分离参数法和单调性求m的最小值．

解答 解：（1）因为数列{a_n}为递增的等比数列，且a₃²=a₁a₅，
再观察集合中的元素，只有4²=1×16，
所以，a₁=1，a₃=4，a₅=16，
所以，{a_n}的通项公式为：a_n=2^n-1，
而b_n+1-2b_n=8a_n=2ⁿ⁺²，
所以，$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2，
所以，数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为1，公差为2的等差数列，
即$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2n-1，所以，b_n=（2n-1）2ⁿ；
（2）因为c_n=$\frac{{4}^{n}}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{4^n}{（2n-1）（2n+1）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$]，
所以，数列{c_n}的前n项和为：T_n=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{2n+1}$]，
根据题意，T_n＞$\frac{1}{{a}_{m}}$可写成，$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{2n+1}$]＞$\frac{1}{{2}^{m-1}}$，
即2^m-3＞$\frac{1}{1-\frac{1}{2n+1}}$对任意正整数n都成立，设g（n）=$\frac{1}{1-\frac{1}{2n+1}}$，
显然，g（n）在自然数集上单调递减，
所以，2^m-3＞[g（n）]_max=g（1）=$\frac{3}{2}$，即2^m-2＞3，
因此，满足上述不等式的m的最小整数为4，
故整数m的最小值为4．

点评 本题主要考查了数列通项公式的求法，涉及等差等比数列的性质，数列求和，以及与不等式的综合应用，属于难题．