Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（3cos²x-3sin²x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2$\sqrt{3}$sinxcosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由数量积和三角函数公式可得f（x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得f（x）的周期；
（2）解不等式2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π可得f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（3cos²x-3sin²x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2$\sqrt{3}$sinxcosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3cos²x-3sin²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx
=3cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的知识和三角函数的单调性，属基础题．