题目内容
证明下列各题：
（1）证明：
、
、
不可能成等差数列；
（2）已知x，y，a，b都是实数，且x2+y2=1，a2+b2=1，求证：|ax+by|≤1．
（1）证明：
| 3 |
| 5 |
| 7 |
（2）已知x，y，a，b都是实数，且x2+y2=1，a2+b2=1，求证：|ax+by|≤1．
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式
分析：（1）利用反证法证明，假设
、
、
可能成等差数列，25=21，显然等式不成立，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项；
（2）将求证式中的“1”与题设中的“1”联系起来，利用定理可快速求解．
| 3 |
| 5 |
| 7 |
（2）将求证式中的“1”与题设中的“1”联系起来，利用定理可快速求解．
解答：
证明：（1）假设
、
、
可能成等差数列．…（2分）
则2
=
+
，
两边平方，得20=10+2
，…（5分）
即5=
，
则25=21，显然等式不成立．…（8分）
故
、
、
不可能成等差数列．…（10分）
（2）要证|ax+by|≤1
需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1．…（14分）
∵x2+y2=1，a2+b2=1∴1=（x2+y2）（a2+b2）=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…（19分）
故|ax+by|≤1．…（20分）
| 3 |
| 5 |
| 7 |
则2
| 5 |
| 3 |
| 7 |
两边平方，得20=10+2
| 21 |
即5=
| 21 |
则25=21，显然等式不成立．…（8分）
故
| 3 |
| 5 |
| 7 |
（2）要证|ax+by|≤1
需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1．…（14分）
∵x2+y2=1，a2+b2=1∴1=（x2+y2）（a2+b2）=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…（19分）
故|ax+by|≤1．…（20分）
点评：本题考查用分析法和反证法证明不等式，用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，用反证法证明不等式的关键是推出矛盾．
练习册系列答案
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