Question

16．已知△ABC中，∠C=90°，tanA=$\sqrt{2}$，M为AB的中点，现将△ACM沿CM折成三棱锥P-CBM，当二面角P-CM-B大小为60°时，$\frac{AB}{PB}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，找出二面角P-CM-B的平面角，设AC=2，求解三角形得答案．

解答 解：如图，取BC中点E，连接AE，设AE∩CM=O，
再设AC=2，由∠C=90°，tanA=$\sqrt{2}$，可得BC=$2\sqrt{2}$，
在Rt△MEC中，可得tan$∠CME=\sqrt{2}$，在Rt△ECA中，求得tan$∠AEC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cot∠AEM═$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则∠CME+∠AEM=90°，有AE⊥CM．
∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE为二面角P-CM-B的平面角为60°，
∵AE=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，OE=1×sin∠CME=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PO=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
在△POE中，由余弦定理可得PE=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-2×\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴PE²+CE²=PC²，即PE⊥BC．
则PB=PC=2．
在Rt△ACB中，求得AB=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AB}{PB}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．