Question

18．等差数列{a_n}中，已知a₃=5，且a₁，a₂，a₃为递增的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的通项公式${b_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{\frac{n+1}{2}}}，n=2k-1\\{2^{\frac{n}{2}-1}}，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由题意$（{{a_3}-2d}）（{{a_3}+2d}）={（{{a_3}-d}）^2}$，a₃=5，单人化简解出即可得出．
（Ⅱ）对n分类讨论，分组求和即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由题意$（{{a_3}-2d}）（{{a_3}+2d}）={（{{a_3}-d}）^2}$，a₃=5．
即d²-2d=0，解之得d=2，或d=0（舍去），
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1，即a_n=2n-1，n∈N^*为所求．
（Ⅱ）当n=2k，k∈N^*时，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=b₁+b₃+…+b_2k-1+b₂+b₄+…+b_2k=a₁+a₂+…+a_k+（2⁰+2¹+…+2^k-1）
=$\frac{{k（{1+2k-1}）}}{2}+\frac{{1-{2^k}}}{1-2}$=k²+2^k-1=$\frac{n^2}{4}+{2^{\frac{n}{2}}}-1$；
当n=2k-1，k∈N^*时，n+1=2k，S_n=S_n+1-b_n+1=$\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{4}+{2^{\frac{n+1}{2}}}-1-{2^{\frac{n+1}{2}-1}}$=$\frac{{{n^2}+2n-3}}{4}+{2^{\frac{n-1}{2}}}$．
综上，${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n^2}{4}+{2^{\frac{n}{2}}}-1，n=2k\\ \frac{{{n^2}+2n-3}}{4}+{2^{\frac{n-1}{2}}}，n=2k-1\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．