Question

18．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点M（x，y）是直线l与圆面ρ≤4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）的公共点，求$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）．展开ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）．利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（2）由x²+y²=4x-4y配方可得：（x-2）²+（y+2）²=8．设M坐标：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}rcosθ}\\{y=-2+2\sqrt{2}rsinθ}\end{array}\right.$，$（0≤r≤2\sqrt{2}）$．再利用和差公式及其单调性值域即可得出．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）．
∴ρ²=ρ•4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）．
∴x²+y²=4x-4y．
（2）由x²+y²=4x-4y配方可得：（x-2）²+（y+2）²=8．
设M坐标：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}rcosθ}\\{y=-2+2\sqrt{2}rsinθ}\end{array}\right.$，$（0≤r≤2\sqrt{2}）$．
∴$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$$（2+2\sqrt{2}rcosθ）$+$\sqrt{2}$$（2+2\sqrt{2}rsinθ）$
=4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$rsin$（θ+\frac{π}{4}）$∈$[0，8\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程回去直角坐标方程、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．