题目内容
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如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AA1，B1C1，C1D1，DD1的中点，则GH与平面EFH所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
分析 C1H，过G作GM⊥C1H于M，则∠GHC1即为GH与平面EFH所成的角，在△C1GH利用余弦定理求出cos∠GHC1．
解答 
解：连结EB1，C1H，则平面EFH即为平面EHC1B1，
过G作GM⊥C1H于M，则MG⊥平面EFH，
∴∠GHC1即为GH与平面EFH所成的角，
设正方体棱长为2，则C1G=1，GH=$\sqrt{2}$，C1H=$\sqrt{5}$，
∴cos∠GHC1=$\frac{G{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}-{C}_{1}{G}^{2}}{2GH•{C}_{1}H}$=$\frac{2+5-1}{2×\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
点评 本题考查了直线与平面所成角的求解，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{3}{8}$ |
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