Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁斜率为正的直线交椭圆于A、B两点，且

AB

•

AF2

=O，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（1）求椭圆的离心率．
（2）若直线y=kx与椭圆交于C、D两点，求使四边形ACBD的面积S最大的实数k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先利用椭圆定义和|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，能够得出|AB|=

4a

3

，然后|AF₁|=x，进而表示出|AF₂|=2a-x，|BF₁|=

4a

3

-x，|BF₂|=2a-（

4a

3

-x）=

2a

3

+x；再由AB⊥AF₂利用勾股定理得出|AF₁|²+|AF₂|²=4c²，|AF₂|²+|AB|²=|BF²|²，通过整理能够得出a²=2c²，即可求出离心率．
（2）根据（1）求得直线AB的斜率和AB的长，运用面积公式和三点共线距离和最大，即可得到CD垂直于AB时，面积最大．

解答： 解：（1）由椭圆的定义得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
|AB|=|AF₁|+|BF₁|，
又|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，则|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，
则有|AB|=

4

3

a，
设|AF₁|=x
则|AF₂|=2a-x，|BF₁|=

4

3

a-x，|BF₂|=2a-（

4

3

a-x）=

2a

3

+x，
∵AB⊥AF₂∴|AF₁|²+|AF₂|²=4c²
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²
即：

(2a-x)2+x2=4c2 (2a-x)2+( 4a 3 )2=( 2a 3 +x)2

，
解得：x=a，代入第一式，有（2a-a）²+a²=4c² 即a²=2c²
∴离心率e=

c

a

=

2

2

；
（2）由e=

2

2

可得，c=b=

2

2

a，椭圆方程设为：x²+2y²=a²，
且有|AB|=

4

3

a，且有△AF₁F₂为等腰直角三角形，
则直线AB的斜率为1，
则四边形ACBD的面积S=

1

2

|AB|•（d₁+d₂），
其中d₁，d₂表示C，D到直线AB的距离，显然d₁+d₂≤|CD|，
当CD⊥AB时，面积最大，此时k=-1，
则有使四边形ACBD的面积S最大的实数k的值为-1．

点评：本题考查了等差数列的定义和方程、性质以及椭圆的简单性质，考查三点共线时距离和最大，考查运算能力，属于中档题．