Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：
（1）EN∥平面PDC；
（2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明AD∥MN由N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形得EN∥DM，DM?平面PDC，可得EN∥平面PDC；
（2）由侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，得PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC，由∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=

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，由正弦定理可得：BE⊥AD，有由AD∥BC可得BE⊥BC，可得BC⊥平面PEB；
（3）由（2）知BC⊥平面PEB，EN?平面PEB可得PB⊥MN，由AP=AB=2，N是PB的中点，得PB⊥AN，有MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，可证平面PBC⊥平面ADMN．

解答： 解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADMN，BC?平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN，
∵MN=平面ADMN∩平面PBC，BC?平面PBC，
∴BC∥MN．
又∵AD∥BC，
∴AD∥MN．∴ED∥MN
∵N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∴ED=MN=1
∴四边形ADMN是平行四边形．
∴EN∥DM，DM?平面PDC，
∴EN∥平面PDC；
（2）∵侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，
∴PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC
∵∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=

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，由正弦定理可得：BE⊥AD
∴由AD∥BC可得BE⊥BC，
∵BE∩PE=E
∴BC⊥平面PEB；
（3）∵由（2）知BC⊥平面PEB，EN?平面PEB
∴BC⊥EN
∵PB⊥BC，PB⊥AD
∴PB⊥MN
∵AP=AB=2，N是PB的中点，
∴PB⊥AN，
∴MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，
∵PB?平面PBC
∴平面PBC⊥平面ADMN．

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．