题目内容
在边长为a的正三角形的三角处各剪去一个四边形，这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等（如图1），若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器（如图2），试求当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大？并求这容器的最大容积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为a-2
x，V（x）=
•x•（a-2
x）2，0＜x＜
，由此能求出当容器的高为
a时，容器的容积最大，其最大容积为
．
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| a | ||
2
|
| ||
| 18 |
| a3 |
| 54 |
解答：
解：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为a-2
x，
∴V（x）=
•x•（a-2
x）2，0＜x＜
=
•
•4
x•(a-2
x)(a-2
x)
≤
（
）3=
，
当且仅当4
x=a-2
x，即x=
a时，Vmax=
．
故当容器的高为
a时，容器的容积最大，其最大容积为
．
| 3 |
∴V（x）=
| ||
| 4 |
| 3 |
| a | ||
2
|
=
| ||
| 4 |
| 1 | ||
4
|
| 3 |
| 3 |
| 3 |
≤
| 1 |
| 16 |
4
| ||||||
| 3 |
| a3 |
| 54 |
当且仅当4
| 3 |
| 3 |
| ||
| 18 |
| a3 |
| 54 |
故当容器的高为
| ||
| 18 |
| a3 |
| 54 |
点评：本题考查几何体的容积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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如图，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=3，AB=4，DA=6