Question

15．已知函数f（x）=a•4^x+2^x+1，其中a∈R．
（1）设函数g（x）=lg$\frac{f（x）}{2}$，若当x∈（-∞，1]时，g（x）有意义，求a的取值范围；
（2）是否存在是实数m，使得关于x的方程f（x）=m对于任意非正实数a，均有实数根？若存在，求m；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）问题等价于$a＞-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，令$y=-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，根据函数的单调性求出y的最大值，从而求出a的范围即可；
（2）假设存在m满足条件，即关于t的方程a•t²+t+1-m=0有正实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出m 的范围即可．

解答 解：（1）当x∈（-∞，1]时，g（x）有意义，
即等价于x∈（-∞，1]时，$\frac{{a•{4^x}+{2^x}+1}}{2}＞0$成立．
将不等式变形，分离出$a＞-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，
原命题等价于x∈（-∞，1]是求使得$a＞-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$恒成立的a的取值范围…（2分）
令$y=-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，当x∈（-∞，1]时，只需a＞y_max，为此求y_max．
而$y=-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$在x∈（-∞，1]上是增函数，故当x=1时，有${y_{max}}=-\frac{3}{4}$．
因此取$a＞-\frac{3}{4}$，即a得取值范围是$（{-\frac{3}{4}，+∞}）$…（6分）
（2）假设存在m满足条件．
关于x的方程a•4^x+2^x+1=m对于任意实数a恒有实数根，设t=2^x（t＞0），
即关于t的方程a•t²+t+1-m=0有正实数根…（8分）
当a=0时，方程的解t=m-1，令t＞0，即m-1＞0，得m＞1；
当a＜0时，函数y=a•t²+t+1-m的开口向下，对称轴为直线$t=-\frac{1}{2a}＞0$，
由图象可知，△≥0，化简得$m≤1-\frac{1}{4a}$，对a＜0恒成立，即m≤1；
综上所述，没有满足条件的实数m…（12分）

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、最值问题以及分类讨论思想，是一道中档题．