Question

3．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}2&{-1}\\{-4}&3\end{array}}]$
（1）求矩阵A的逆矩阵； 
（2）设曲线C在变化矩阵A作用下得到的曲线C′的方程为xy=1，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵； 
（2）确定变换前后坐标之间的关系，即可求曲线C的方程．

解答 解：（1）由题意，$|\begin{array}{l}{2}&{-1}\\{-4}&{3}\end{array}|$=2，
∴矩阵A的逆矩阵$[\begin{array}{l}{\frac{3}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{1}\end{array}]$；
（2）设曲线C上点P（x，y）在变化矩阵A作用下得到的曲线C′上的点P（x′，y′），
则$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x-y}\\{y′=-4x+3y}\end{array}\right.$，
∵x′y′=1，
∴（2x-y）（-4x+3y）=1，即曲线C的方程为8x²-10xy+3y²+1=0．

点评 本题考查逆矩阵，考查坐标变换，考查学生的计算能力，正确确定坐标之间的关系是关键．