Question

16．设a、b为正实数，且a+b=2$\sqrt{2}$ab．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）若（a-b）²≥4（ab）³，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）a、b为正实数，且a+b=2$\sqrt{2}$ab．可得a+b=2$\sqrt{2}$ab≥2$\sqrt{ab}$，解得ab≥$\frac{1}{2}$，可得2（a²+b²）≥（a+b）²=8a²b²，即可得出．
（2）由a、b为正实数，且a+b=2$\sqrt{2}$ab．可得（a-b）²=（a+b）²-4ab=8a²b²-4ab≥4（ab）³，化简即可得出．

解答 解：（1）∵a、b为正实数，且a+b=2$\sqrt{2}$ab．
∴a+b=2$\sqrt{2}$ab≥2$\sqrt{ab}$，解得ab≥$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴2（a²+b²）≥（a+b）²=8a²b²≥$8×（\frac{1}{2}）^{2}$=2，化为a²+b²≥1，当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴a²+b²的最小值是1．
（2）∵a、b为正实数，且a+b=2$\sqrt{2}$ab．
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab=8a²b²-4ab≥4（ab）³，
化为：（ab-1）²≤0，∴ab=1．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．