Question

6．已知函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的图象过点$（{0，\frac{1}{2}}）$，若$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$对x∈R恒成立，则ω的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 10
• C． 4
• D． 16

Answer 1

分析 根据函数f（x）的图象过点$（{0，\frac{1}{2}}）$求出φ的值，再由$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$对x∈R恒成立，得出ω•$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，由此求出ω的最小值．

解答 解：函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的图象过点$（{0，\frac{1}{2}}）$，
∴f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）；
又$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$对x∈R恒成立，
∴ω•$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=24k+4，k∈Z，
∴ω的最小值为4．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦函数的最大值以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是基础题．