Question

11．已知函数f（x）=x³-2x．
（1）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实数解，求a的取值范围．
（2）求过曲线f（x）上的点A（1，-1）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，得到原函数的单调性，求出极值，可得使关于x的方程f（x）=a有三个不同的实数解的a的取值范围；
（2）设切点坐标，求出函数在切点处切线方程，代入A点坐标，求出切点横坐标得所求切线方程．

解答 解：（1）f（x）=x³-2x，则f′（x）=3x²-2，
由f′（x）=0，得x=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴当x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞$）时，f′（x）＞0，
当x∈（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞$）；减区间为（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）．
∴f（x）_极大=f（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$；f（x）_极小=$f（\frac{\sqrt{6}}{3}）=-\frac{4\sqrt{6}}{9}$．
∴要使关于x的方程f（x）=a有三个不同的实数解，则a的取值范围为（-$\frac{4\sqrt{6}}{9}，\frac{4\sqrt{6}}{9}$）；
（2）设切线为$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}）$，f′（x₀）=$3{{x}_{0}}^{2}-2$．
∴切线方程为$y-（{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}）=（3{{x}_{0}}^{2}-2）（x-{x}_{0}）$．
把A（1，-1）代入，得$2{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+1=0$，解得x₀=1或$-\frac{1}{2}$．
∴所求切线方程为x-y-2=0，5x+4y-1=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是“在某点”与“过某点”的区别，是中档题．