题目内容
已知向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），且
，
满足关系|k
+
|=
|
-k
|，（k为正实数）．
（1）求将
•
表示为k的函数f（k）；
（2）求函数f（k）的最小值及取最小值时
，
的夹角θ．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求将
| a |
| b |
（2）求函数f（k）的最小值及取最小值时
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角
专题：平面向量及应用
分析：（1）由向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），可得|
|=|
|=1．由
，
满足关系|k
+
|=
|
-k
|，（k为正实数）．利用数量积运算性质可得：k2
2+
2+2k
•
=3(
2+k2
2-2k
•
)，即可得出．
（2）由f（k）=
利用基本不等式的性质、向量的夹角公式即可得出．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）由f（k）=
| k2+1 |
| 4k |
解答：
解：（1）∵向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
∴|
|=|
|=1，
∵
，
满足关系|k
+
|=
|
-k
|，（k为正实数）．
∴k2
2+
2+2k
•
=3(
2+k2
2-2k
•
)，
化为k2+1+8k
•
=3+2k2，
化为f(k)=
(k＞0)．
（2）f（k）=
≥
=
，
当且仅当k=1时，f（k）取得最小值为
，
•
=
=cosθ，
∵θ∈[0，π]．
此时，θ=
．
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
化为k2+1+8k
| a |
| b |
化为f(k)=
| k2+1 |
| 4k |
（2）f（k）=
| k2+1 |
| 4k |
| 2k |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
当且仅当k=1时，f（k）取得最小值为
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∵θ∈[0，π]．
此时，θ=
| π |
| 3 |
点评：本题考查了数量积的运算性质、基本不等式的性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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