Question

已知函数f（x）=x²+

1

x2

-a（x+

1

x

）+a+2（x＞0），若f（x）的值域为[-1，+∞]，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，设x+

1

x

=t，则f（t）=f（t）=t²-at+a=（t-

a

2

）²+a-

a2

4

，t≥2，根据函数的值域得到f（t）有最小值-1，分类讨论求出a的值．

解答： 解：∵f（x）=x²+

1

x2

-a（x+

1

x

）+a+2=（x+

1

x

）²-a（x+

1

x

）+a，
设x+

1

x

=t，t≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号，
∴f（t）=t²-at+a=（t-

a

2

）²+a-

a2

4

，t≥2
∵f（x）的值域为[-1，+∞），
当

a

2

≥2时，即a≥4时，函数f（t）_min=f（

a

2

）=a-

a2

4

=-1，
解得a=2+2

2

，或a=2-2

2

（舍去），
当

a

2

＜2时，即a＜4时，函数f（t）_min=f（2）=4-2a+a=-1，
解得a=5，不符合题意，
综上所述a的值为2+2

2

点评：本题主要考查了通过函数的值域参数的值的，采用了分类讨论的思想和转化的思想，属于中档题．