Question

已知直线l₁：kx-y+

5

k=0与直线l₂：x+k y-

5

=0的交点为P，（1）求点P的轨迹方程； （2）已知点Q（3，2），直线l：y=mx-2m+1 （m∈R）与点P的轨迹交于E、F两点，试判断

QE

•

QF

×tan∠EQF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）直线l₁：kx-y+

5

k=0过点A（-

5

，0），直线l₂：x+k y-

5

=0过定点B（

5

，0），交点P的轨迹是以AB为直径的圆，可得点P的轨迹方程； 
（2）

QE

•

QF

×tan∠EQF=|

QE

||

QF

|sin∠EQF=2S，故只要求S_△EQF的最大值即可．

解答： 解：（1）由题意，直线l₁：kx-y+

5

k=0过点A（-

5

，0），直线l₂：x+k y-

5

=0过定点B（

5

，0），交点P的轨迹是以AB为直径的圆，∴求点P的轨迹方程为x²+y²=5； …（5分）
（2）

QE

•

QF

×tan∠EQF存在最大值．

QE

•

QF

×tan∠EQF=|

QE

||

QF

|sin∠EQF=2S，故只要求S_△EQF的最大值即可     …（7分）
∵直线l：y=mx-2m+1 （m∈R）过定点（2，1），此点在点P的轨迹上，
不妨设为E，则可设直线l与圆的另一个交点为F（

5

cosθ，

5

sinθ），
由于

QE

=（-1，-1），∴|

QE

|=

2

  …（9分）
又直线l_QE：x-y-1=0，∴点F到直线l_QE的距离d=

| 5 cosθ- 5 sinθ-1|

2

=

| 10 sin(θ-\f(π

4

)-1|，

2

)≤

10 +1

2

（当且仅当θ=2kπ-

π

4

，k∈Z时，取等号），…（11分）
∴S_△EQF=

1

2

|

QE

|d≤

10 +1

2

，∴

QE

•

QF

×tan∠EQF最大值为

10

+1．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查圆的参数方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．