Question

各项均为正数的数列{a_n}，其前n项和为S_n，且满足a₁＞1，6S_n=a_n²+3a_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}前n项和为T_n，且满足a_n+1T_n=a_nT_n+1-9n²-3n+2．问b₁为何值时，数列{b_n}为等差数列；
（Ⅲ） 求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

3n+2

-

2

)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，得6Sn=an2+3an+2，6Sn+1=

a

2 n+1

+3an+1+2，从而a_n+1-a_n=3，由此能求出a_n=3n-1．（Ⅱ）由已知得

Tn+1

3n+2

-

Tn

3n-1

=1，数列{

Tn

3n-1

}是以

T1

2

为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出b₁=2．（Ⅲ）由

1

an

=

1

3n-1

=

2

2 3n-1

＞

2

3n-1 + 3n+2

=

2( 3n+2 - 3n-1 )

3

，能证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

3n+2

-

2

)．

解答： （Ⅰ）解：由题意，得6Sn=an2+3an+2①
6Sn+1=

a

2 n+1

+3an+1+2②
②-①得6an+1=

a

2 n+1

+3an+1-an2-3an
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0…2分
因为a_n＞0，所以a_n+1-a_n=3
又n=1时，6a1=a12+3a1+2，
即（a₁-1）（a₁-2）=0
又a₁＞1，a₁=2
所以a_n=3n-1．…4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及题意，得：
(3n-1)Tn+1-(3n+2)Tn=9n2-3n+2=(3n-1)(3n+2)
即

Tn+1

3n+2

-

Tn

3n-1

=1，
所以数列{

Tn

3n-1

}是以

T1

2

为首项，以1为公差的等差数列，…6分
所以

Tn

3n-1

=

T1

2

+n-1，
即Tn=(

T1

2

+n-1)(3n-1)，
若数列{b_n}为等差数列，则

T1

2

-1=0，即T₁=2，
所以b₁=2．（此时b_n=6n-4）…8分
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）及题意，得：

1

an

=

1

3n-1

=

2

2 3n-1

＞

2

3n-1 + 3n+2

=

2( 3n+2 - 3n-1 )

3

…11分
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

5

-

2

+

8

-

5

+…+

3n+2

-

3n-1

)
故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

3n+2

-

2

)．…13分．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的首项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．