Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a．
（1）求A′B和B′C的夹角；
（2）求证：A′B⊥AC′．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,异面直线及其所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由B′C∥A′D可知，A′B和B′C的夹角等价于A′B与A′D的夹角，分别求出A′D，BD，A′B的值，即可求出其值；
（2）连接AB′，先证明A′B⊥B′C′，又由A′B⊥AB′（正方形的对角线），可证A′B⊥面AB′C′，即可证明A′B⊥AC′．

解答： 解：（1）如图，连接A′D，BD，
∵正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a．
∴A′D=

2

a，BD=

2

a，A′B=

2

a，
∴∠BA′D=

π

3

，
∵A′D∥B′C，
∴A′B和B′C的夹角为

π

3

；
（2）连接AB′，
∵B′C′⊥面ABA′B′，
∴A′B⊥B′C′
又∵A′B⊥AB′（正方形的对角线）
∴A′B⊥面AB′C′
∴A′B⊥AC′．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，异面直线及其所成的角的求法，属于基本知识的考查．