Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且|PF₁|=

4

3

，
|PF₂|=

14

3

，PF₁⊥F₁F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），圆心M的坐标为（-2，1）．设直线l的方程为 y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线方程．

解答： （本小题共14分）
解：（1）∵点P在椭圆C上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，
故椭圆的半焦距c=

5

，
从而b²=a²-c²=4，∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
∵圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
∴圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为 y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，（*）
又∵A、B关于点M对称，∴

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
∴直线l的方程为y=8x-9y+25=0，
此时方程（*）中△＞0，
故所求直线方程为8x-9y+25=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．