Question

已知半圆O的直径AB=2，C在BA的延长线上且AC=1，P为半圆上异于A、B的一点，设∠POC=θ．
（1）设PB²+PC²=f（θ），求f（θ）的解析式；
（2）以PC为边作正方形PCMN，求五边形OCMNP面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）PC²=PO²+CO²-2×PO×CO×cosθ=5-4×cosθ，PB²=PO²+BO²-2×PO×BO×cos（180°-θ）=2+2×cosθ，由此能求出f（θ）．
（2）设五边形OCMNP的面积为S，由S=PC2+

1

2

PO×CO×sinθ=5-4cosθ+sinθ，能求出五边形OCMNP面积的最大值．

解答： 解：（1）∵PC²=PO²+CO²-2×PO×CO×cosθ
=5-4×cosθ，
PB²=PO²+BO²-2×PO×BO×cos（180°-θ）
=2+2×cosθ，
∴f（θ）=7-2cosθ（0°＜θ＜180°）．
（2）设五边形OCMNP的面积为S，
S=PC2+

1

2

PO×CO×sinθ
=5-4cosθ+sinθ
=5+

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×sin(θ-α)，（tanα=4，0°≤θ＜180°），
∴Smax=5+

17

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查五边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的合理运用．