Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）分别以向量

AB

，

AD

，

AP

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量

EF

，

AE

，

AB

的坐标，设平面ABE的法向量为

n

=(a，b，c)，根据

n

⊥

AE

，

n

⊥

AB

即可求得一个法向量，根据法向量和向量

EF

的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角．

解答： 解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=

1

2

AD，ME∥AD，且ME=

1

2

AD，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；
∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；
如图所示，以A为坐标原点，分别以

AB

，

AD

，

AP

为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，所以：
P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E(0，

1

2

，

1

2

)，F(

1

2

，

1

2

，0)；
∴

EF

=(

1

2

，0，-

1

2

)，

AE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

AB

=(1，0，0)；
设平面ABE法向量

n

=(a，b，c)，则

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0；
∴

1 2 b+ 1 2 c=0 a=0

令b=1，则c=-1，a=0；
∴

n

=(0，1，-1)为平面ABE的一个法向量；
设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：
sinα=|cos＜

EF

，

n

＞|=|

EF • n

| EF || n |

|=

1

2

；
所以直线EF与平面ABE所成角为

π

6

．

点评：考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件．