Question

已知函数f（x）=cosxcos（x-

π

3

）
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的递增区间；
（2）指出f（x）的图象是由y=sinx的图象经怎样变换得到的？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，从而由正弦函数的图象和性质可求f（x）的最小正周期和f（x）的递增区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosxcos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

2

cos²x+

3

4

sin2x=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
∴T=

2π

2

=π．
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
∴f（x）的最小正周期是π，f（x）的递增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（2）y=sinx的图象向左平移

π

6

可得y=sin（x+

π

6

）的图象，
再把所得图象的横坐标变为原来的

1

2

倍，可得函数y=sin（2x+

π

6

）的图象；
再把所得图象的纵坐标变为原来的

1

2

倍，可得函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象；
再把所得函数的图象向上平移

1

4

个单位，即可得到y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

的图象．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，复合三角函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．