Question

4．如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，∠ABC=60°，点D在PD上，且$\frac{PE}{ED}$=2．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大小；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点F使得BF∥平面EAC？若存在，试求PF的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点G，连结AG，以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-D的大小．
（Ⅱ）设在棱PC上存在点F（a，b，c），且$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$，0≤λ≤1，使得BF∥平面EAC，求出平面ACE的法向量，利用向量法推导出在棱PC上不存在点F使得BF∥平面EAC．

解答 解：（Ⅰ）取BC中点G，连结AG，
∵在底面为菱形的四棱锥P-ABCD，中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，∠ABC=60°，
∴AG⊥BD，AG=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
∵点E在PD上，且$\frac{PE}{ED}$=2，∴E（$0，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-2），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角E-AC-D的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=45°，
∴二面角E-AC-D的大小为45°．
（Ⅱ）设在棱PC上存在点F（a，b，c），且$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$，0≤λ≤1，使得BF∥平面EAC，
则（a，b，c-1）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}λ，\frac{1}{2}λ$，-λ），解得F（$\frac{\sqrt{3}}{2}λ，\frac{1}{2}λ，1-λ$），
∵B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），∴$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}λ-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}λ+\frac{1}{2}$，1-λ），
∵平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-2），BF∥平面EAC，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}λ-\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}λ-\frac{\sqrt{3}}{2}$-2+2λ=0，
解得λ=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∉（0，1），
∴在棱PC上不存在点F使得BF∥平面EAC．

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．