Question

13．已知曲线C₁：ρ=4sinα，直线C₂：α=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），点P（x，y）在曲线C₁上
（1）求2x+y的取值范围；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交，求交点间的距离；若不相交，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出曲线曲线C₁是圆心为C₁（0，2），半径r=2的圆，设P（2cosθ，2+2sinθ），利用三角函数性质能求出2x+y的取值范围．
（2）直线C₂：y=x，则圆心到C₂的距离为d=$\sqrt{2}$，由此能求出结果．

解答 解：（1）曲线C₁：ρ=4sinα，即ρ²=4ρsinα，
∴x²+y²=4y，整理，得x²+（y-2）²=4，
∴曲线C₁是圆心为C₁（0，2），半径r=2的圆，
圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∵点P（x，y）在曲线C₁上，∴设P（2cosθ，2+2sinθ），
∴2x+y=4cosθ+2+2sinθ=2$\sqrt{5}$cos（θ-φ）+2∈[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]，
∴2x+y的取值范围是[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]．
（2）由（1）知C₁：x²+（y-2）²=4，
∵直线C₂：α=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），∴C₂：y=x，
圆心C₁（0，2），则圆心到C₂的距离为d=$\sqrt{2}$＜2，
故直线C₁与圆C₂相交．
则|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查代数式的取值的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查弦长的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．