Question

16．下列命题：
①若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=31；
②随机变量X服从正态分布N（1，2），则P（X＜0）=P（X＞2）；
③若二项式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x^-4的系数是40
④连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夹角为θ，则θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率是$\frac{7}{12}$．
正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 对于①，令x=0可得：a₀=-32，再令x=1，得：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1，于是可判断①正确；
对于②，随机变量X服从正态分布N（1，2）⇒P（0≤X＜1）=P（1＜X≤2）⇒$\frac{1}{2}$-P（0≤X＜1）=$\frac{1}{2}$-P（1＜X≤2），即P（X＜0）=P（X＞2），可判断②正确；
对于③，由（1+2）ⁿ=243，可解得：n=5，在其通项T_r+1=${{2}^{r}C}_{5}^{r}$x^5-3r（0≤r≤5）中，令5-3r=-4，解得r=3，可求得展开式中x^-4的系数是2³${C}_{5}^{3}$=80≠40，可判断③错误；
对于④，依题意$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0?m≥n，由于试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，满足m≥n的结果种数为6+15=21种，于是可求得向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夹角θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率P=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$，可判断④正确．

解答 解：对于①，若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，则令x=0，得：a₀=（-2）⁵=-32；
再令x=1，得：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1，
所以，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1+32=31，故①正确；
对于②，随机变量X服从正态分布N（1，2），则P（0≤X＜1）=P（1＜X≤2），
所以$\frac{1}{2}$-P（0≤X＜1）=$\frac{1}{2}$-P（1＜X≤2），
即P（X＜0）=P（X＞2），故②正确；
对于③，若二项式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展开式中所有项的系数之和为243，即（1+2）ⁿ=243，解得：n=5，
其通项为：T_r+1=${{2}^{r}C}_{5}^{r}$x^5-3r，0≤r≤5．
令5-3r=-4，解得r=3，
则展开式中x^-4的系数是2³${C}_{5}^{3}$=80≠40，故③错误；
对于④，∵向量 $\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
依题意，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0，
即m-n≥0，m≥n，
由于试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，m=n共有6种结果分别为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），
m＞n的结果种数为${C}_{6}^{2}$=15，
因此满足m≥n的结果种数为6+15=21种，
所以向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夹角θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率P=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$，
故④正确．
综上所述，正确命题的序号为：①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查二项式定理与概率统计中正态分布与古典概型的应用，属于综合题．