Question

12．已知点P、A、B都在圆 x²+y²=r²上，其中点P的坐标是（1，1），直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁•k₂=1．
（1）证明：△PAB是等腰三角形；
（2）证明：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）证明圆心到直线PA，PB的距离相等，即可证明结论；
（2）由（1）可得OP⊥AB，即可证明结论，

解答 证明：（1）设P的坐标是（1，1），在圆 x²+y²=r²上，∴r=$\sqrt{2}$．
∵直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，k₁•k₂=1，
∴PA：y-1=k₁（x-1），∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，
以$\frac{1}{{k}_{1}}$代入，d′=$\frac{|-{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，即圆心到直线PA，PB的距离相等，
∴PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形；
（2）由（1）可得OP⊥AB，
∵k_OP=1，∴直线AB的斜率为定值-1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．