Question

13．甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．
（I）求甲比乙少投进一次的概率．
（Ⅱ）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件：①甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，②甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，由P（A）=P（B）+P（C），能求出甲比乙少投进一次的概率．
（II）两人得分之和ξ的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．

解答 解：（I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件：
①甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，
则有：$P（B）={0.5^2}×{C_2}^1×0.8×（1-0.8）=0.08$，…（2分）
②甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，
则有：$P（C）={C_2}^1×{0.5^2}×{0.8^2}=0.32$，…（4分）
∴P（A）=P（B）+P（C）=0.08+0.32=0.40…（5分）
答：甲比乙少投进一次的概率为0.40．…（6分）
（II）两人得分之和ξ的可能取值为0，2，4，6，8，
P（ξ=0）=（1-0.5）²（1-0.8）²=0.01，
P（ξ=2）=${C}_{2}^{1}0.5•0.5•（1-0.8）^{2}+{C}_{2}^{1}0.8•0.2•（1-0.5）^{2}$=0.10，
Pξ=4）=0.5²•（1-0.8）²+（1-0.5）²•0.8²+${C}_{2}^{1}0.5•0.5{C}_{2}^{1}0.8（1-0.8）$=0.33，
P（ξ=6）=${C}_{2}^{1}0.5•0.5•0．{8}^{2}+{C}_{2}^{1}0.8•（1-0.8）•0．{5}^{2}$=0.4，
P（ξ=8）=0.5²×0.8²=0.16，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	4	6	8
P	0.01	0.10	0.33	0.40	0.16

∴Eξ=0×0.01+2×0.10+4×0.33+6×0.40+8×0.16=5.2…（11分）
∴两人得分之和ξ的期望Eξ为5.2．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．