Question

9．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l过定点A（1，0）．
（1）若l与圆C相切，求l的方程．
（2）若l与圆C相交于P、Q两点，若$|PQ|=2\sqrt{2}$，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）若直线l的斜率不存在，则直线l：x=1，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为kx-y-k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，由此利用点到直线的距离公式得$k=\frac{3}{4}$，从而求出直线的方程．
（2）设直线方程为kx-y-k=0，由弦长|PQ|求出弦心距$d=\sqrt{2}$，由此利用点到直线距离公式求出k=1或k=7，从而能求出直线l的方程．

解答 解：（1）若直线l的斜率不存在，则直线l：x=1，符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，
即：$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$，此时直线的方程为3x-4y-3=0．
综上可得，所求直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0．----（6分）
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
∵$|{PQ}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{2}$，∴弦心距$d=\sqrt{2}$，即$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{2}$，
解得k=1或k=7，
所求直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0．----（12分）

点评 本题考查直线方程的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．