Question

16．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①$y={C_1}{x^2}+{C_2}$与模型；②$y={e^{{C_3}x+{C_4}}}$作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．

温度x/°C	20	22	24	26	28	30	32
产卵数y/个	6	10	21	24	64	113	322
t=x2	400	484	576	676	784	900	1024
z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

$\overline x$	$\overline t$	$\overline y$	$\overline z$
26	692	80	3.57
$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{x_i}-\overline x）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{t_i}-\overline t）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中${t_i}={x_i}^2$，$\overline t=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{t_i}$，z_i=lny_i，$\overline z=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{z_i}$，
附：对于一组数据（μ₁，ν₁），（μ₂，ν₂），…（μ_n，ν_n），其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{μ_i}-\bar μ）（{ν_i}-\bar ν）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{μ_i}-\bar μ）}^2}}}}$，$α=\bar ν-β\bar μ$
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30°C时的产卵数．（C₁，C₂，C₃，C₄与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e^4.65≈104.58，e^4.85≈127.74，e^5.05≈156.02）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为${R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．

Answer 1

分析 （1）根据模型①，模型②求出回归方程，计算x=30时估计产卵数即可；
（2）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣．

解答 解：（1）对于模型①：设t=x²，则$y={C_1}{x^2}+{C_2}={C_1}t+{C_2}$，
其中${C_1}=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}=0.43$，…（1分）
${C_2}=\overline y-{C_1}\overline t=80-0.43×692=-217.56$；…（3分）
所以y=0.43x²-217.56，…（4分）
当x=30时，估计产卵数为
${y_1}=0.43×{30^2}-217.56=169.44$；…（5分）
对于模型②：设z=lny，则lny=C₃x+C₄，
其中${C_3}=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{x_i}-\overline x）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=0.32$，…（6分）
${C_4}=\overline z-{C_3}\overline x=3.57-0.32×26=-4.75$；…（8分）
所以y=e^0.32x-4.75，…（9分）
当x=30时，估计产卵数为
${y_2}={e^{0.32×30-4.75}}={e^{4.85}}=127.74$；…（10分）
（2）因为${R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$，
${R_1}^2＜{R_2}^2$，
所以模型②的拟合效果更好．   …（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关指数的应用问题，是难题．