Question

1．已知直线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），圆${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）
（1）当$α=\frac{π}{6}$时，求C₁与C₂的交点坐标；
（2）过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

Answer 1

分析 （1）当$α=\frac{π}{6}$时，求出直线C₁的普通方程，再求出圆C₂的普通方程，联立方程组，能求出C₁与C₂的交点坐标．
（2）∵直线C₁的普通方程为xsinα-ycosα-2sinα=0，从而A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），当α变化时，求出P点轨迹的参数方程，由此能求出P点轨迹是圆心为（$\frac{1}{4}$，0），半径为$\frac{1}{4}$的圆．

解答 解：（1）当$α=\frac{π}{6}$时，直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，t是参数，
消去参数t，得直线C₁的普通方程为x-$\sqrt{3}y$-2=0，
圆${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
消去参数θ，得圆C₂的普通方程为x²+y²=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y-2=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴C₁与C₂的交点坐标为（2，0），（-1，-$\sqrt{3}$）．
（2）∵直线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），
∴C₁的普通方程为xsinα-ycosα-2sinα=0，
∵过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A，∴A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），
∵P为OA的中点，当α变化时，P点轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}si{n}^{2}α}\\{y=-\frac{1}{2}sinαcosα}\end{array}\right.$，（α为参数）．
∴P点轨迹的普通方程为（x-$\frac{1}{4}$）²+y²=$\frac{1}{16}$．
故P点轨迹是圆心为（$\frac{1}{4}$，0），半径为$\frac{1}{4}$的圆．

点评 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．本题利用的是参数法，参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．