Question

14．$\overrightarrow a$=（3$\sqrt{3}$sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），f （x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，g（x）=f（x）+m的最大值为$\frac{11}{2}$，求g（x）的最小值及相应的x值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积计算并化简f （x），求出f（x）的单调递减区间；
（2）根据x的取值范围，求出f（x）的值域，再根据g（x）的最大值求出m，从而求出g（x）的最小值与对应x的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow a$=（3$\sqrt{3}$sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），
∴f （x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
=3$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3（1+cos2x）}{2}$
=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z；
（2）x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]；
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]，
∴g（x）=f（x）+m的最大值为$\frac{9}{2}$+m=$\frac{11}{2}$，
解得m=1，
∴g（x）=f（x）+1；
∴g（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$+1=-$\frac{1}{2}$，
此时x=-$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是中档题．