Question

已知二次函数f（x）=ax²+（4a-1）x+3a在区间[-

1

2

，3]上的最大值为3，求实数a的取值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：二次函数在闭区间上取得最大值的情况有：在端点处，在顶点处，所以分别让区间[-

1

2

，3]端点和顶点处取得最大值，求出对应的a，然后验证是否符合条件即可．

解答： 解：根据二次函数在端点处或顶点取得最大值得：
（1）若f（-

1

2

）=3，即

a

4

-

4a-1

2

+3a=3，解得a=2；
∴f（x）=2x2+7x+6=2(x+

7

4

)2-

1

8

，∴f（3）是最大值，所以这种情况不存在；
（2）若f（3）=3，即9a+12a-3+3a=3，解得a=

1

4

；
∴f（x）=

x2

4

+

3

4

，∴;f(3)f（3）是最大值，且f（3）=3，所以这种情况正确；
（3）若f（

1-4a

2a

）=3，即

(1-4a)2

4a

+(4a-1)•

1-4a

2a

+3a=3，解a=-

1

2

；
∴f（x）=-

1

2

x2-3x-

3

2

=-

1

2

(x+3)2+3，所以f（-

1

2

）最大，所以这种情况不存在；
综上得a=

1

4

．

点评：考查二次函数在闭区间上取得最大值的可能情况，配方法求二次函数的最大值．