Question

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在 （1）的条件下，若存在x∈R使得f（x）+f（x+5）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用同一个不等式的解集是相等集合得到端点的关系求a；
（2）要使存在x∈R使得f（x）+f（x+5）≤m成立，只要求出f（x）+f（x+5）的最小值即可，构造函数g（x）=f（x）+f（x+5），借助于三角不等式的性质求g（x）的最小值．

解答： 解：（1）．由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，所以

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2；
（2）．当a=2时f（x）=|x-2|．
设g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|，由|x-2|+|x+3|≥5，（当且仅当-3≤x≤2时等号成立）
得，g（x）的最小值为5．从而存在x∈R，使得f（x）+f（x+5）≤m成立，即存在x∈R，使得g（x）≤m成立，所以m的取值范围为[5，+∞）．

点评：本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值函数的值域的求法．