Question

己知曲线C₁：y=-x²+1（y≤0）与x轴交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A，B连线的斜率之积为-4
（Ⅰ）求动点P的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点M，Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求△AMQ的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用点P与A，B连线的斜率之积为-4，建立方程，即可求动点P的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）其方程为y=k（x-1）（k≠0），代入上半椭圆C₂的方程，求出点M的坐标，同理得出点Q的坐标，利用AM⊥AQ，可得yP=

48

25

，yQ=-

16

9

，即可求出△AMQ的面积．

解答： 解：（Ⅰ）不妨设点A在点B左侧，则A（-1，0），B（1，0）
设P（x，y）（y＞0），则kAPkBP=

y

x+1

•

y

x-1

=-4
整理得：

y2

4

+x2=1(y＞0)
所以动点P的轨迹C₂的方程为

y2

4

+x2=1(y＞0)--------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆C₂的方程为

y2

4

+x2=1(y＞0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入C₂的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）
设点M的坐标为（x_M，y_M），
∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根．
由求根公式，得x_M=

k2-4

k2+4

，从而y_M=

-8k

k2+4

，
∴点M的坐标为（

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

）．--------------------------------（7分）
同理，由

y=k(x-1)(k≠0) y=-x2+1

得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k）．
由题意可知AM⊥AQ，且

AM

=(

2k2

k2+4

，

-8k

k2+4

)，

AQ

=(-k，-k2-2k)．
∴

AM

•

AQ

=0，即

-2k2

k2+4

[k-4（k+2）]=0，
∵k≠0，
∴k-4（k+2）=0，解得k=-

8

3

．--------------------------------（10分）
∴yP=

48

25

，yQ=-

16

9

∴S△APQ=

1

2

|AB||yP-yQ|=

832

225

所以△APQ的面积为

832

225

．…（12分）

点评：本题考查动点P的轨迹C₂的方程，考查△APQ的面积，考查学生的计算能力，属于中档题．