Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，-

6

2

），F（-

2

，0）是其左焦点，P，Q是椭圆C上不同的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：线段PQ的垂直平分线经过一个定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由已知条件推导出x₁+x₂=2．当x₁≠x₂时，由

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，得（x12-x22）+2（y12-y22）=0，由此求出线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1），该直线恒过一定点（

1

2

，0）．当x₁=x₂时，线段PQ的中垂线是x轴，也过点（

1

2

，0）．由此能证明线段PQ的垂直平分线经过一个定点（

1

2

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，-

6

2

），F（-

2

，0）是其左焦点，
∴

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，解得

a2=4 b2=2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（4分）
（Ⅱ）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1，知
|PF|=

(x1+ 2 )2+y12

=

(x1+ 2 )2+2- x12 2

=2+

2

2

x1，
同理|QF|=2+

2

2

x2，|MF|=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PF|+|QF|，
∴2(2+

2

2

)=4+

2

2

(x1+x2)，
∴x₁+x₂=2．
①当x₁≠x₂时，由

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，得（x12-x22）+2（y12-y22）=0，
由x₁≠x₂，得y₁≠±y₂，
从而有

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

，
设线段PQ的中点为N（1，n），n≠0，
则kPQ=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1），
∴（2x-1）n-y=0，该直线恒过一定点（

1

2

，0）．
②当x₁=x₂时，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

），或Q（1，-

6

2

），P（1，

6

2

），
线段PQ的中垂线是x轴，也过点（

1

2

，0）．
∴线段PQ的垂直平分线经过一个定点（

1

2

，0）．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段的垂直平分线经过一个定点的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．