Question

已知函数f（x）=klnx-kx-3（k∈R）．
（Ⅰ）当k=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x-y-3=0平行，且函数g（x）=x³+

t

2

x2+x2f'（x） 在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出．
（II）由函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x-y-3=0平行，可得f′（2）=1，解出k=-2，f′(x)=

-2

x

+2．可得g′（x）=3x²+（t+4）x-2，由于函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，注意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=-2＜0，因此只需

g′(1)＜0 g′(2)＞0

，解出即可．

解答： 解：f′(x)=

k

x

-k(x＞0)．
（Ⅰ）当k=-1 时，f′(x)=-

1

x

+1=

x-1

x

，
令f′（x）＞0 时，解得x＞1，令f′（x）＜0 时，解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）． 
（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x-y-3=0平行，
∴f′（2）=1，即

k

2

-k=1，
∴k=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+(

t

2

+2)x2-2x，
∴g′（x）=3x²+（t+4）x-2，
∵函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，
注意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=-2＜0，
∴只需

g′(1)＜0 g′(2)＞0

，
解得-9＜t＜-5，
∴t 的取值范围为（-9，-5）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．