Question

已知直线l₁：x+sinθ•y-1=0，l₂：cosθ•x+

1

2

y+1=0，其中0≤θ≤

π

2

．
（1）若l₁⊥l₂，求tanθ的值；
（2）求直线l₁的倾斜角a的取值范围．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,直线的倾斜角

专题：直线与圆

分析：（1）由直线垂直可得cosθ+

1

2

sinθ=0，变形可得tanθ；
（2）由题意可得当θ=0时，直线l₁的斜率不存在，当0＜θ≤

π

2

时，直线l₁的斜率为-

1

sinθ

，由θ范围可得tanα的范围，可得α的范围．

解答： 解：（1）∵l₁⊥l₂，∴cosθ+

1

2

sinθ=0，
变形可得tanθ=

sinθ

cosθ

=-2；
（2）由题意可得当θ=0时，直线l₁的斜率不存在，
当0＜θ≤

π

2

时，直线l₁的斜率为-

1

sinθ

，∴tanα=-

1

sinθ

，
∵0＜θ≤

π

2

，∴0＜sinθ≤1，∴

1

sinθ

≥1，
∴tanα=-

1

sinθ

≤-1，∴

π

2

＜α≤

3π

4

点评：本题考查直线的垂直关系，涉及直线的倾斜角和三角函数的值域，属基础题．