Question

17．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₃+1，a₄成等差数列，令b_n=log₂a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-a₁与S_n-1=2a_n-1-a₁（n≥2）作差可知a_n=2a_n-1（n≥2），利用a₁，a₃+1，a₄成等差数列可知a₁=2，从而数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知${c_n}=\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）由题意，可知S_n=2a_n-a₁，
从而S_n-1=2a_n-1-a₁（n≥2），
上述两式相减，可得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-2a_n-1，
所以a_n=2a_n-1（n≥2），
从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，a₄=2a₃=8a₁，
又因为a₁，a₃+1，a₄成等差数列，
所以a₁+a₄=2（a₃+1），即a₁+8a₁=2（4a₁+1），
解之得a₁=2，
又a_n=2a_n-1（n≥2），
所以数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$…（6分）
（2）由（1），可知${c_n}=\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，①
以上等式两边同乘以$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，②
由①-②，可得得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{{\frac{1}{2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-{（\frac{1}{2}）^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
=$1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$…（14分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．