Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（1）若a_n+1-a_n=pⁿ（p≠0），且a₁，2a₂，3a₃成等差数列，求p的值及a_n．
（2）若S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N^*），求S₁₀₀．

Answer 1

分析 （1）由题意化简可得4（1+p）=1+3（1+p+p²），从而求p，再利用迭加法求通项公式；
（2）由题意得S_n+2-S_n-1=6n+3，从而可得S_n+3-S_n=6n+9，从而利用累加法求S₁₀₀．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=pⁿ，
∴a₂=1+p，a₃=1+p+p²，
∵a₁，2a₂，3a₃成等差数列，
∴4a₂=a₁+3a₃，
即4（1+p）=1+3（1+p+p²），
解得，p=$\frac{1}{3}$；
a_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{3-{3}^{1-n}}{2}$；
（2）∵S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2，
∴S_n+S_n+1+S_n+2=3（n+1）²+2，
∴S_n+2-S_n-1=6n+3，
∴S_n+3-S_n=6n+9，
∴S₄-S₁=15，
S₇-S₄=33，
…
S₁₀₀-S₉₇=6×97+9，
故S₁₀₀-S₁=15+33+…+6×97+9
=$\frac{15+6×97+9}{2}$×33
=9999，
故S₁₀₀=S₁+9999=10000．

点评 本题考查了数列的性质的应用及通项公式与前n项和公式的应用，同时考查了累加法的应用．